Hallo,
das muss nicht am Hosting liegen. Fehler 500/503 können auch durch einen PHP Skript/Plugin/Template ausgelöst werden, der in Deinem Shop Amok läuft.
Ggfs. mal der Reihe nach insbesondere Drittanbieter-Plugins deaktivieren und dann mal schauen, ob es besser wird.
Ansonsten wären natürlich weitere Infos hilfreich (Anzahl Artikel/Besucher, aktuelle Hosting Technologie - also einfaches Shared Hosting, vServer, dediziert?) - möglicherweise ist das aktuelle Paket auch schlichtweg unterdimensioniert in Deinem Fall.
Auch wird das ständige Cache Aufwärmen falsch verstanden. Im Standard hat der Cache eine TTL (Verfallszeit) von 1 Stunde. Je nach Shop-Größe kann dieser also schon verfallen sein, bevor der Cache vollständig aufgewärmt wurde.
Siehe hierzu auch
Viele Grüße