ich habe in einem 5.1.5 Shop sogar das Template von Shopware 3.5 am laufen. Technisch ist es also möglich.
Beim Update auf Shopware 5.1.5 wurde der Templates/_default Ordner gelöscht. Du kannst ja mal deinen alten Templates Ordner mit allen Templateverzeichnissen auf den Server laden und testen. Den vorhanden Ordner kannst du einfach umbenennen.