Ja genau. Einfach
chown -R nginx:nginx var/cache/
Falls Du keine root Rechte hast aber sudo, dann
sudo chown -R nginx:nginx var/cache/
Dann funktioniert cache löschen wieder via Shopware.
Noch ein Tipp: Wenn Du mal wieder die Console verwendest, mache es so:
sudo -u nginx php bin/console cache:clear
Falls Du kein sudo hast aber root Rechte nimm
su nginx -c php bin/console cache:clear
Analog für die anderen Befehle der console. Dann bleiben die Rechte bei nginx.