Ich gehe mal davon aus, dass das meiste noch an der Konfiguration hängt. Das Migrationstool migriert jeden Haupt- und Subshop aus dem SW5 System als neuen Sales-Channel in das SW6-System. Es ist also völlig normal, dass du nach der Migration keine Kategorien und Produkte im Frontend siehst, denn der Sales Channel den du bei der Installation anlegst ist ja ein anderer als der migrierte. Du solltest nach der Migration auf der Linken Seite verschiedene Sales-Channel finden - einmal den bei der Installation angelegten, dann den Headless und die migrierten. Willst du also einen der migrierten Shops unter einder Domain aufrufen, musst du den Sales-Channel erst entsprechend konfigurieren, da diese natürlich mit der Live-Domain aus SW5 migriert werden und nicht auf deine Testdomain angepasst sind. Also zunächst am besten den Sales-Channel löschen, den du bei der Installation angelegt hast und dann dem migrierten Sales-Channel die Domain geben, auf der du testest. Dann sollte auch alles im Frontend zu sehen sein. Man muss da manuell nur die Domain des Sales-Channels anpassen, sonst nichts.
Das Thema Lieferscheine, Rechnungen usw. umfasst nicht die Vorlagen, sondern die Daten die an deinen Bestellungen hängen. Alle Vorlagen die auf Smarty basieren müssen manuell migriert werden, da wir kein Smarty mehr nutzen. Entsprechendes steht auch in der Doku, wir haben einen entsprechenden Abschnitt wo aufgeführt wird, was du nach einer Migration manuell prüfen musst: Shopware 6 - Migration - Upgrade Guide Shopware 6
Meine Empfehlung: Installiere SW6 nochmal komplett neu, mache eine neue Migration und schau dir dann die Sales-Channel an und passe diese auf die entsprechende Test-Domain an. Dann solltest du schon deutlich mehr sehen. Wenn es dann weiterhin Probleme gibt, dann kannst du uns auch gerne einmal deine Datenbank schicken - wir haben einige Tests mit „Realdaten“ durchgeführt und testen das natürlicha uch gerne nochmal mit deiner DB.