Gute Neuigkeiten, ich habe das Upgrade nun auch erfolgreich nach composer Update hinbekommen. Hierzu musste ich zunächst composer lokal im Shopware6 Ordner installieren. Man kann wohl nicht davon ausgehen, dass beim Shared Webhosting die global installiere Composer Version „up-to-date“ ist. Daher auch die Fehlermeldungen im vorherigen Post von mir.
Ich bin hierbei der Anleitung unter Composer gefolgt (Hinweis: Stand von heute 13.5.24).
php -r "copy('https://getcomposer.org/installer', 'composer-setup.php');"
php -r "if (hash_file('sha384', 'composer-setup.php') === 'dac665fdc30fdd8ec78b38b9800061b4150413ff2e3b6f88543c636f7cd84f6db9189d43a81e5503cda447da73c7e5b6') { echo 'Installer verified'; } else { echo 'Installer corrupt'; unlink('composer-setup.php'); } echo PHP_EOL;"
php composer-setup.php
php -r "unlink('composer-setup.php');"
Anschließend habe ich noch die composer.phar per mv composer.phar bin/ in den Shopware 6 bin Ordner verschoben.
Anschließend habe ich dann /bin/composer.phar update ausgeführt. Nun traten keine Fehlermeldungen mehr auf und offenbar wurde auch die veraltete TWIG Version in diesem Zuge aktualisiert. Diese ist nun die brandfrische v3.10.1 (vgl. Hinweis unten, aktuell darf es nur v3.8.x sein).
Abschließend habe ich dann wieder mit dem Update Assistenten im Shopware Admin Bereich das Upgrade auf die 6.6.20 durchgeführt. Und siehe an, es gab keine Fehlermeldungen mehr und lief alles durch.
Nochmals vielen Dank für Eure Beiträge, @TP-Sticker und @Christian.Saeum die mich letztlich auf die richtige Lösung gebracht haben,