Hallo @FloC3,
die Zahlart wird auch mit PATCH sales-channel-api/v1/context und im body paymentMethodId festgelegt. Das musst du aber machen, bevor du die Order mit POST sales-channel-api/v1/checkout/order erstellst.
Das „Start the payment process for an order“ in der Doku bezieht sich auf den Bezahlprozess der ausgewählten Bezahlmöglichkeit. Bei PayPal wäre das die Weiterleitung zur Einloggseite von PayPal.
Gruß