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hier, ich hab mal schnell ein script geschrieben.

document.asyncReady(function() {

    if(sessionStorage.getItem('searchfiller')){
        document.querySelector("[name='sSearch']").value = sessionStorage.getItem('searchfiller');
    };

    document.querySelector("[name='sSearch']").addEventListener("keyup", function () {
        console.log(this.value);
        sessionStorage.setItem('searchfiller', this.value);
    });


});